Publicité :
Chapitre 1 : Le corps des nombres Réels
1. Nombres Réels :
1.1 - Construction de l'ensemble des nombres réels :
1.1.1 Definition
Une partie non vide A ⊂ ℚ est dite section dans ℚ si elle vérifie la propriété suivante :
∀x ∈ A , ∀x' ∈ ℚ : x' < x ⇒ x' ∈ A
Une section est dite ouverte si :
∀x ∈ A , ∃ x' ∈ A : x' > x
1.2 Théorème
Soit A une section ouverte alors :
∀ ε ∈ ℚ* , ∃ x ∈ A ∃ x' ∉ A : x' - x < ε
1.3 Definition
Toute section ouverte sera appelé nombre réel . L'ensemble des nombres réels sera noté ℝ .
1.4 Valeur absolue
Soit x ∈ ℝ on appelle valeur absolue de x notée |x| le réel positif définie par :
1.1.1 Definition
Une partie non vide A ⊂ ℚ est dite section dans ℚ si elle vérifie la propriété suivante :
∀x ∈ A , ∀x' ∈ ℚ : x' < x ⇒ x' ∈ A
Une section est dite ouverte si :
∀x ∈ A , ∃ x' ∈ A : x' > x
1.2 Théorème
Soit A une section ouverte alors :
∀ ε ∈ ℚ* , ∃ x ∈ A ∃ x' ∉ A : x' - x < ε
1.3 Definition
Toute section ouverte sera appelé nombre réel . L'ensemble des nombres réels sera noté ℝ .
1.4 Valeur absolue
Soit x ∈ ℝ on appelle valeur absolue de x notée |x| le réel positif définie par :
1.5 Propriétés
- | a | = 0 ⇔ a = 0
- | a b | = | a | × | b |
- Si b ≠ 0 , | a b | = | a | | b |
- | x / y |= | x | / | y | ( | y | ≠ 0 )
- | a + b | ⩽ | a | + | b | (inégalité triangulaire)
- | a − b | ⩾ | | a | − | b | | (deuxième inégalité triangulaire, découle de la première)
Dans ce qui suit A est un sous ensemble de ℝ
2 Partie bornée
Soit A un sous ensemble de ℝ et m , M ∈ℝ
- M majore A pour tout x ∈A : x ≤ M ( M est le plus grand élément de A ) N.B Si M appartient à A alors c'est un maximum
- m minore A pour tout x ∈A : x ≥ m ( m est le plus petit élément de A ) N.B Si m appartient à A alors c'est un minimum
2.2 Définition
- On dit que A est majoré s'il existe un réel M tel que M majore A .
- On dit que A est minoré s'il existe un réel m tel que m minore A .
- Si A est majoré et minoré , on dit qu'il est borné .
2.3 Borne supérieure et borne inférieure
- On dit que s est la borne supérieure de A , notée Sup(A) si s est le plus petit majorant de A .
- On dit que t est la borne supérieure de A , notée Inf(A) si t est le plus grand minorant de A .
2.3 Théorème
- Si A est un sous ensemble de ℝ non vide et majoré, alors A admet une borne supérieure .
- Si A est un sous ensemble de ℝ non vide et minoré, alors A admet une borne inférieure .
2.4 Caractérisation des bornes supérieure et inférieure
- ∀ ε >0 ∃ x ∈A / Sup(A) - ε ≤ x ≤ Sup(A)
- ∀ ε >0 ∃ x ∈A / Inf(A) ≤ x ≤ Inf(A) + ε
3. Partie entière
3.1 Définition
si x est un réel , il existe un unique entier m∈ℤ tel que m ≤ x < m+1
On l'appelle la partie entière de x , et on la note [x] ou E[x] .
N.B E[x] est le plus grand entier relatif qui est inférieur ou égal à x .
ex : E[3.2]=3 car 3 ≤3.2< 4
E[4]=4
3.2 Représentation graphique de la fonction « partie entière »
3.1 Définition
si x est un réel , il existe un unique entier m∈ℤ tel que m ≤ x < m+1
On l'appelle la partie entière de x , et on la note [x] ou E[x] .
N.B E[x] est le plus grand entier relatif qui est inférieur ou égal à x .
ex : E[3.2]=3 car 3 ≤3.2< 4
E[4]=4
3.2 Représentation graphique de la fonction « partie entière »
télécharger le cours version PDF
![](http://www.weebly.com/weebly/images/file_icons/pdf.png)
Analyse_chapitre_01 _le_corps_des_nombres_réels.pdf | |
File Size: | 692 kb |
File Type: |
Noter sur 5 :
Auteurs :
Afrit Hani
Yacine Mestoui
Source :
"Exercices d'Analyse"
Afrit Hani
Yacine Mestoui
Source :
"Exercices d'Analyse"