Chapitre 1 : Systèmes de numération
Introduction :
•Nous avons pris l'habitude de représenter les nombres en utilisant dix symboles différents: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
•Ce système est appelé le système décimal (déci signifie dix).
•Il existe cependant d'autres formes de numération qui fonctionnent en utilisant un nombre de symboles distincts.
–Exemple :
•système binaire (bi: deux),
• le système octal (oct: huit),
•le système hexadécimal (hexa: seize).
•En fait, on peut utiliser n'importe quel nombre de symboles différents (pas nécessairement des chiffres).
•Dans un système de numération : le nombre de symboles distincts est appelé la base du système de numération.
1 . Le système décimal
•On utilise dix symboles différents:
{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
•N’importe quelle combinaison des symboles { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } nous donne un nombre.
Introduction :
•Nous avons pris l'habitude de représenter les nombres en utilisant dix symboles différents: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
•Ce système est appelé le système décimal (déci signifie dix).
•Il existe cependant d'autres formes de numération qui fonctionnent en utilisant un nombre de symboles distincts.
–Exemple :
•système binaire (bi: deux),
• le système octal (oct: huit),
•le système hexadécimal (hexa: seize).
•En fait, on peut utiliser n'importe quel nombre de symboles différents (pas nécessairement des chiffres).
•Dans un système de numération : le nombre de symboles distincts est appelé la base du système de numération.
1 . Le système décimal
•On utilise dix symboles différents:
{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
•N’importe quelle combinaison des symboles { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } nous donne un nombre.
1.1 Développement en polynôme d’un nombre dans le système décimal
•Soit le nombre 1978, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante :
•Soit le nombre 1978, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante :
Cette forme s’appelle la forme polynomiale
Un nombre réel peut être écrit aussi sous la forme polynomiale
Un nombre réel peut être écrit aussi sous la forme polynomiale
1.2 Comptage en décimal
•Sur une seule position : 0 ,1,2,3,4,5,….9= 101-1
•Sur deux positions : 00 , 01,02, …..,99=102-1
•Sur trois positions 000,001,……,999=103-1
•Sur n positions : minimum 0
maximum 10ⁿ-1
nombre de combinaisons 10ⁿ
2 . Système binaire ( système à base 2 ): exemple illustratif
Supposons qu’on a 14 jetons , si on forme des groupes de 10 jetons. On va obtenir 1 seul groupe et il reste 4 jetons.
•Sur une seule position : 0 ,1,2,3,4,5,….9= 101-1
•Sur deux positions : 00 , 01,02, …..,99=102-1
•Sur trois positions 000,001,……,999=103-1
•Sur n positions : minimum 0
maximum 10ⁿ-1
nombre de combinaisons 10ⁿ
2 . Système binaire ( système à base 2 ): exemple illustratif
Supposons qu’on a 14 jetons , si on forme des groupes de 10 jetons. On va obtenir 1 seul groupe et il reste 4 jetons.
. Maintenant on va former des groupes de 2 jetons ( on obtient 7 groupes)
. Par la suite on va regrouper les 7 groupes 2 à 2 ( on obtient 3 groupes ).
. On va regrouper ces derniers aussi 2 à 2 ( on obtient 1 seul groupe )
. Le schéma illustre le principe :
. Par la suite on va regrouper les 7 groupes 2 à 2 ( on obtient 3 groupes ).
. On va regrouper ces derniers aussi 2 à 2 ( on obtient 1 seul groupe )
. Le schéma illustre le principe :
Nombre de jetons qui restent en dehors des groupes : 0
Nombre de groupes qui contiennent 2 jetons : 1
Nombre de groupes qui contiennent 2 groupes de 2 jetons : 1
Nombre de groupes qui contiennent des groupes de 2 groupes de 4 jetons : 1
Si on regroupe les différents chiffres on obtient : 1110
1110 est la représentation de 14 dans la base 2
•Dans le système binaire, pour exprimer n’importe quelle valeur on utilise uniquement 2 symboles : { 0 , 1}
Nombre de groupes qui contiennent 2 jetons : 1
Nombre de groupes qui contiennent 2 groupes de 2 jetons : 1
Nombre de groupes qui contiennent des groupes de 2 groupes de 4 jetons : 1
Si on regroupe les différents chiffres on obtient : 1110
1110 est la représentation de 14 dans la base 2
•Dans le système binaire, pour exprimer n’importe quelle valeur on utilise uniquement 2 symboles : { 0 , 1}
. Un nombre dans la base 2 peut être écrit aussi sous la forme polynomiale
Comptage en binaire
Comptage en binaire
Le système octal ( base 8 )
•8 symboles sont utilisés dans ce système:
{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
•
•Exemple 1 :
•8 symboles sont utilisés dans ce système:
{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }
•
•Exemple 1 :
Résumé
•Dans une base X , on utilise X symboles distincts pour représenter les nombres.
•La valeur de chaque symbole doit être strictement inférieur à la base X.
•Chaque nombre dans une base X peut être écrit sous sa forme polynomiale .
3. Conversion d’une base X à la base 10
•Cette conversion est assez simple puisque il suffit de faire le développement en polynôme de ce nombre dans la base X , et de faire la somme par la suite.
•Dans une base X , on utilise X symboles distincts pour représenter les nombres.
•La valeur de chaque symbole doit être strictement inférieur à la base X.
•Chaque nombre dans une base X peut être écrit sous sa forme polynomiale .
3. Conversion d’une base X à la base 10
•Cette conversion est assez simple puisque il suffit de faire le développement en polynôme de ce nombre dans la base X , et de faire la somme par la suite.
•Exercice
3.1 Conversion de la base 10 à la base 2
Le principe consiste à faire des divisions successives du nombre sur 2 , et prendre le reste des divisions dans l’ordre inverse.
Le principe consiste à faire des divisions successives du nombre sur 2 , et prendre le reste des divisions dans l’ordre inverse.
3.2 Conversion de la base 10 à la base 2 : cas d’un nombre réel
•Un nombre réel est constitué de deux parties : la partie entière et la partie fractionnelle.
•La partie entière est transformée en effectuant des divisions successives.
•La partie fractionnelle est transformée en effectuant des multiplications successives par 2 .
•Un nombre réel est constitué de deux parties : la partie entière et la partie fractionnelle.
•La partie entière est transformée en effectuant des divisions successives.
•La partie fractionnelle est transformée en effectuant des multiplications successives par 2 .
•La conversion se fait en prenant les restes des divisions successives sur la base X dans le sens inverse.
Conversion d’une base b1 à une base b2 :
•Il n’existe pas de méthode pour passer d’une base b1 à une autre base b2 directement.
•L’idée est de convertir le nombre de la base b1 à la base 10 , en suit convertir le résultat de la base 10 à la base b2 .
•Il n’existe pas de méthode pour passer d’une base b1 à une autre base b2 directement.
•L’idée est de convertir le nombre de la base b1 à la base 10 , en suit convertir le résultat de la base 10 à la base b2 .
Remarque :
le remplacement se fait de droit à gauche pour la partie entière
et de gauche à droite pour la partie fractionnelle .
le remplacement se fait de droit à gauche pour la partie entière
et de gauche à droite pour la partie fractionnelle .
Conversion : Octal → binaire :
. L’idée de base est de faire des regroupements de 3 bits à partir du poids faible.
. Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur octal correspondante .
Exemple :
. L’idée de base est de faire des regroupements de 3 bits à partir du poids faible.
. Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur octal correspondante .
Exemple :
Remarque :
le regroupement se fait de droite à gauche pour la partie entière
et de gauche à droite pour la partie fractionnelle .
le regroupement se fait de droite à gauche pour la partie entière
et de gauche à droite pour la partie fractionnelle .
. L’idée de base est de faire des regroupements de 4 bits à partir du poids faible.
Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur Héxa correspondante .
Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur Héxa correspondante .
4. Opérations arithmétiques en binaire :
Opérations arithmétiques en octal :
Opérations arithmétiques en hexadécimal :
•Exercice :
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ch1_systemenumeration.ppt | |
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